Snoopy e la miglior traiettoria della nostra vita

Esterno. Spiaggia. Giorno.

Un bagnino siede sulla torretta di guardia, a una ventina di metri dalla riva del mare. È una bella giornata calda e molta gente cerca refrigerio in acqua. D’improvviso, grida lontane lo raggiungono all’orecchio sinistro. Gira lo sguardo da quella parte e non fatica ad accorgersi di un bagnante in difficoltà tra le onde, a una decina di metri dalla battigia e a una certa distanza rispetto alla sua postazione. Si precipita allora saltando giù sulla sabbia, pronto a soccorrerlo. Ma ha un attimo di indecisione...

La scelta del bagnino

L’istinto gli suggerirebbe di muoversi verso lo sfortunato nuotatore percorrendo una linea retta, che sarebbe la via più breve, ma egli sa che è più veloce sulla spiaggia che in acqua... Deve scegliere il percorso più corto o impiegare meno tempo possibile?

Già, perché le due opzioni potrebbero non essere equivalenti...

La situazione, che è uno degli esempi ideati dal premio Nobel Richard Feynman per le sue Lezioni di Fisica, è mostrata in Figura 1. Di certo, la scelta di rendere più breve il tragitto sulla spiaggia ma più lungo quello in mare – dove è più lento – è da scartare. Come è anche da non prendere in considerazione l’idea di percorrere un tratto più lungo sulla spiaggia e uno minimo in mare: egli comprende subito che, muovendosi in due ambienti diversi (sabbia e acqua) che influenzano diversamente il suo cammino, non è importante seguire il tragitto di minima distanza per arrivare al bagnante ma percorrere una traiettoria, tra le tante, nel minor tempo possibile.

Torniamo alla figura: nell’inviluppo di tutti i possibili tragitti compresi tra il minimo percorso sulla sabbia e il minimo percorso in acqua, esisterà di certo una traiettoria che potrà essere affrontata nel minor tempo possibile. Sì, ma quale? Come saperlo prima? Non può mica provarli tutti e poi decidere: in tal caso, non avrebbe più il problema di dover salvare il povero bagnante!

È la matematica a soccorrere lui (e lo sventurato!), con un classico problema legato alla minimizzazione di una grandezza, in questo caso la somma del tempo di attraversamento della spiaggia, alla velocità v_s, e del tempo di attraversamento dell’acqua alla velocità v_a, con v_a minore di v_s.

Bene, si trova subito, con un calcolo alla portata di chi abbia una cultura matematica da liceo scientifico, che il rapporto tra le due diverse velocità risulta uguale al rapporto tra una certa funzione dell’angolo di incidenza della traiettoria sulla spiaggia e la medesima funzione dell’angolo di ingresso della traiettoria in acqua, angoli misurati rispetto alla perpendicolare alla linea di battigia. Si tratta del percorso segnato in rosso nella figura.

Cos’ha di particolare questo tragitto? Rende minimo il tempo di intervento, come abbiamo visto, a beneficio del malcapitato. Per meglio dire, rende minima l’azione...

E il bagnino, felice per la sua buona (ancorché minima!) azione, scopre che la formula trovata – e anche il tragitto effettuato – corrispondono esattamente alla descrizione del comportamento della luce nel fenomeno della rifrazione (legge empirica di Snell generalizzata poi da Fermat), quando essa, al pari del bagnino, attraversa due mezzi diversi come l’aria e l’acqua! (v. Figura 2 e 3; in quest’ultima è visibile anche il fenomeno della riflessione).

Siamo arrivati al punto: il principio di minima azione (più correttamente detto di stazionarietà dell’azione) è il compendio di tutta la fisica classica. Ma va anche oltre, riassume i principi della meccanica quantistica, della relatività generale. Anche della fisica delle alte energie (particelle elementari). Ad esempio, la luce che attraversa lo spazio deformato a causa della presenza di oggetti massicci segue una traiettoria (curva) che rende minima la distanza tra due punti e che, come insegna una particolare geometria, viene chiamata geodetica.

La strada più vantaggiosa

La natura non sceglie a caso... ma sembrerebbe molto pigra! Di fatto, tra le infinite traiettorie possibili per andare dal punto A al punto B, essa opta sempre per quella più vantaggiosa. Niente sprechi, niente “più del dovuto”. Ma niente neanche di meno. Come fosse una strada “obbligata” vista nella sua interezza e non “passo dopo passo”. Tutto questo sarebbe inquadrabile in un “principio variazionale” che sceglie “la migliore soluzione possibile” e che non si basa su un rapporto di evoluzione causa–effetto – con un futuro sempre determinato da un passato – ma sulla conoscenza dello stato iniziale e di quello finale. È una visione apparentemente teleologica, finalistica, una sorta di “de profundis” del libero arbitrio, se interpretato in ottica umana.

E infatti, questa considerazione potrebbe aprire una finestra (più filosofica che fisica) anche sulla questione del tempo, inteso come passato, presente, futuro... Nel 2016 uscì un film, candidato poi quest’anno a otto premi Oscar tra cui miglior film, miglior regia e migliore sceneggiatura, intitolato “Arrival”. Un film solo apparentemente di fantascienza – peraltro non quella “fracassona” che abusa di effetti speciali – che affronta il tema linguistico dell’incontro con un’altra intelligenza e conseguentemente anche quello del tempo. Beh, questo film è una bella metafora legata proprio ai principi variazionali, come nei contenuti speciali del disco viene ampiamente descritto.

La linea della nostra storia

Anche noi, come qualunque altro corpo, seguiamo una traiettoria nello spaziotempo che viene chiamata “linea d’universo” e che corrisponderebbe alla nostra “storia”. E anche noi partiamo da un punto A (nascita) per terminare nel punto B (ehm... inutile precisarlo). Dire che per gli umani valga la scelta del percorso di “minima azione”, in assenza accertata di libero arbitrio, non potrebbe apparire un po’ troppo... semplicistico e riduttivo? Ma dovremmo pur domandarci: ci muoviamo sempre lungo la nostra... migliore traiettoria?

Lasciamo al simpatico cane Snoopy di Charlie Brown la personale interpretazione di... “minima azione”: “Oggi non faccio niente. Anche ieri non ho fatto niente, ma non avevo finito...”.