Nato in Belgio nel 1962 e laureatosi in Scienze Politiche alla Sapienza di Roma nel 1985, muove i primi passi nel ministero degli Esteri all'inizio degli anni Novanta, dopo aver vinto il concorso diplomatico: nel 1991 è all'ambasciata ad Ankara come segretario di legazione e poi dal 1995 al 1997 come primo segretario commerciale presso l'ambasciata a Copenaghen.
Nel 2000 inizia la collaborazione con la presidenza del Consiglio, prima nell'ufficio del consigliere diplomatico e poi come rappresentante speciale per le iniziative di ricostruzione dell'area balcanica e Coordinatore dell'Unità tecnico-operativa. Dal maggio 2008 al novembre 2011 è consigliere diplomatico del presidente del Consiglio, nel gennaio 2009 è nominato ministro plenipotenziario e dal gennaio 2010 assume anche la carica di rappresentante personale del Presidente del Consiglio per il vertice dei Paesi maggiormente industrializzati (G8/G20).
Nel dicembre 2011, durante il governo Monti, diventa consigliere per le questioni internazionali del presidente del Senato, incarico che mantiene fino al gennaio 2013.
Parallelamente alla carriera diplomatica, Archi intraprende anche quella politica. Nel 2013 entra in Parlamento - dove vi resta fino al marzo 2018 - come deputato per Il Popolo della Libertà e viene nominato vice ministro degli Esteri nel governo Letta. Dal settembre 2018 ad aprile 2021 è inviato speciale per il Sahel e successivamente, fino al settembre 2022, consigliere diplomatico del ministro per gli Affari regionali e le autonomie.